Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Амплитудные и фазовые спектры сигналов Какая разница между амплитудным спектром и фазовым
входного сигнала
Для нахождения спектральной характеристики входного сигнала можно воспользоваться непосредственно прямым преобразованием Фурье. Второй путь решения этой задачи основан на аналогии между преобразованиями Лапласа и Фурье и состоит в замене в операторном изображении входного сигнала (10) операторной переменной p на мнимую частоту jw . В итоге после простых преобразований получим:
Амплитудный
спектр входного сигнала
может
быть найден как модуль спектральной
характеристики сигнала:
Рисунок
4.4 АЧХ входного сигнала
Максимальное
значение спектральной характеристики
достигается при
и составляет
.
Определенная по уровню
ширина спектра сигнала составляет
.
Между шириной спектра сигнала и его
длительностью существует следующее
соотношение:
.
Для данного вида сигнала получаем:
.
Эта константа называется базой сигнала.
Уменьшение длительности импульса в 100
раз приводит к такому же (в 100 раз)
увеличению ширины его спектра. Наличие
широкого спектра у коротких импульсов
дает возможность использования таких
импульсов для исследования частотных
свойств различных цепей. В математическом
смысле спектр несинусоидального сигнала
неограничен.
Фазовый спектр входного сигнала определяется как аргумент от входной спектральной характеристики: .
Рисунок 4.5 Фазовый спектр входного сигнала
5.3 Определение амплитудного и фазового спектра
выходного сигнала
Амплитудно-частотная
характеристика выходного сигнала может
быть получена перемножением
амплитудно-частотных характеристик
входного сигнала
и цепи
:
.
График АЧХ выходного сигнала приведён на рис. 4.6.
Рисунок 4.6 Амплитудно-частотная характеристика
входного
сигнала
Сравнение
АЧХ
с соответствующей характеристикой
позволяет предположить значительное
искажение формы выходного сигнала.
Искажения связаны с различием величины
передаточной функции для различных
составляющих спектра входного сигнала.
Для резистивной цепи выходной сигнал
был бы подобен входному и имел бы ту же
длительность. В данном случае цепи
содержащей частотнозависимые элементы
значительные изменения будут иметь
место и для фазового спектра входного
сигнала. Это приведет к нарушению фазовых
соотношений между составляющими сигнала
и станет другой причиной искажения
формы выходного сигнала. Искажение на
рис. 4.6 и рис. 4.7 ярко выражено на частоте
,
т. е. той же частоте, что имела место в
АЧХ функции передачи по напряжению(рис.
4.1), определяющей характеристику данной
цепи как параллельного колебательного
контура. Анализ преобразования импульсного
сигнала основывается на представлении
о том, что искажение фронта выходного
импульса по сравнению с формой входного
импульса зависит от свойств цепи на
высоких частотах (теоретически на
бесконечно высоких частотах). Искажение
формы вершины импульса определяется
свойствами цепи на низких частотах.
Используя подобный подход, например,
для анализа искажений фронта входного
импульса «закорачивают» конденсаторы,
находящиеся на пути следования сигнала
в нагрузку и заменяют разрывом индуктивные
элементы, включенные параллельно
резистивным элементам схемы.
Фазовый спектр выходного сигнала может быть получен суммированием аргумента спектральной характеристики и ФЧХ цепи:
Рисунок 4.7 Фазовый спектр выходного сигнала
Огибающая АЧС последовательности прямоугольных видеоим-пульсов описывается функцией
и пересекает ось частот, когда х кратно л, т. е. п кратно q, τ. е. при частотах, кратных скважности. Поэтому именно эти частоты, равные
отсутствуют в спектре.
Обычно при построении спектров откладывают относительные
величины, т. е. и получают
относительный или нормированный спектр (рис. 15.6).
Спектральные составляющие с наибольшей амплитудой распо-ложены под первыми арками, в них сосредоточена и основная часть энергии сигнала. Поэтому эффективную ширину спектра можно определить как:
Теоретически ширина спектра бесконечна, однако не все его составляющие оказывают действенное влияние на форму сигнала и имеют практическое значение. Поэтому под шириной спектра обычно понимают ограниченный диапазон частот, внутри которого распределена большая часть энергии сигнала. Ширина спектра, так же как, например, полоса пропускания контура, — понятие условное.
Рассмотрим особенности АЧС при изменении длительности и частоты следования импульсов (рис, 15.7).
С уменьшением частоты следования Ω при t И = const происхо-дит сгущение спектра: расстояние между спектральными линиями уменьшается. Ширина спектра, определяемая его огибающей, не меняется, а основная часть энергии распределяется на большем числе гармоник.
С увеличением длительности импульсов при Ω= const ширина арок и связанная с ней ширина спектра уменьшаются: происходит относительное сжатие спектра. Основная часть энергии распреде-ляется на меньшем числе гармоник и сосредоточивается в области все более низких частот.
Таким образом, чем короче импульсы и больше их скважность, тем шире и гуще их спектр, и наоборот.
На практике часто приходится учитывать в спектре лишь ко-нечное число гармоник. Точность аппроксимации исходной функ-ции в этом случае зависит от числа учтенных гармоник. Она ока-зывается достаточной, если учитываются все гармоники, опреде-ляемые заданной шириной спектра.
Фазо-частотный спектр
Как следует из выражений (15.24) и (15.25) начальные фазы гармоник определяются как:
Отсюда следует, что огибающая ФЧС представляет собой пря-мую с углом наклона α, зависящим от сдвига импульсов. Учет из-менения от арки к арке фазы гармоник на я осуществляется соот-ветствующим смещением этой прямой параллельно себе на π вверх или вниз (рис. 15.8).
Каждая арка АЧС имеет ширину, равную qΩ. Поэтому вели-чина сдвига фазы на одну арку составляет угол:
. (15.28)
Поэтому угол наклона α огибающей ФЧС, как это следует и из рис. 15.9, равен арктангенсу от величины сдвига импульсов:
Чем больше сдвиг импульсов во времени, тем больше наклон огибающей их ФЧС (рис. 15.9). При t 0 = 0 угол α равен нулю.
Симметричные частотные спектры имеют аналогичный вид, но построение спектральных линий на них распространяется на ось отрицательных частот. При этом АЧС и ФЧС оказываются симмет-ричными относительно оси ординат и начала отсчета соответ-ственно (рис. 15.10).
Решение.
1. Расстояние между спектральными линиями, равное частоте следования импульсов:
2. Ширина арки:
3. Количество спектральных линий под каждой аркой:
4. Сдвиг фазы на одну арку:
Постоянная составляющая:
6. Т абличные значения функции соответствующие частотам F, 2F, 3F и рассчитанные с их помощью амплитуды и начальные фазы гармоник:
В спектре отсутствуют гармоники, кратные q = 5, т. е. 5F = 50 кГц, lOF = 100 кГц, 15F = 150 кГц и т. д.
СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ
Рассчитаем спектр симметричной относительно оси ординат последовательности прямоугольных радиоимпульсов (рис. 15.11):
Здесь и Ω — период и частота следования импульсов;
ω H — несущая частота.
Если несущая частота кратна частоте следования, т. е. ω H = kΩ, где k — целое число, то импульсы называются когерентными, если эти частоты некратны (), то импульсы — некогерентные.
С помощью выражения (15.4) находим постоянную состав-ляющую
В силу симметрии функции относительно оси ординат ряд Фурье будет содержать лишь косинусоиды (b n = 0 ).
Отсюда следует, что амплитуды гармонических составляющих резко возрастают в районе значений частот, близких к ω н, т. е. .По в этом районе значений п второе слагаемое в выражении (15. 32) значительно меньше первого, и им можно прене-бречь. Кроме того, так как ω H >Ω, постоянной составляющей можно также практически пренебречь.
Таким образом, при сделанных допущениях
Отсюда следует, что огибающая АЧС последовательности пря-моугольных радиоимпульсов определяется, так же как и для по-следовательности аналогичных видеоимпульсов, функцией . Разница лишь в том, что эта функция сдвинута по оси частот на величину , а ее максимум вдвое меньше и соответ-ствует частоте . (рис. 15.12).
В спектре некогерентной последовательности радиоимпульсов несущая частота сон отсутствует, и наибольшую ампли-туду имеет составляющая с частотой, близкой к . Если импульсы когерентны, то в их спектре присутствует составляющая несущей частоты, имеющая наибольшую амплитуду, равную (рис. 15.13).
Таким образом, спектр последовательности прямоугольных ра-диоимпульсов совпадает со спектром последовательности прямоугольных видеоимпульсов, смещенным вправо по оси частот на величину ω н. При этом часть спектра, лежащая в области ω<ω н, является зеркальным отображением части спектра, лежащего в области ω> ω н. Сделанные выводы тем точнее, чем ω н >Ω,
При комплексной форме ряда Фурье и построении симметричных спек-тров п принимает не только положительные, но и отрицательные значения. При отрицательных п в формуле (15.32) нельзя пренебречь вторым слагаемым, так как в районе частот , оно становится, наоборот, значительно больше первого слагаемого.
Наиболее эффективные спектральные составляющие, имеющие наибольшие амплитуды, у радиоимпульсов сосредоточены вблизи несущей частоты. Эффективная ширина спектра радиоимпульсов в два раза больше, чем у одинаковых по длительности видеоим-пульсов.
Пример 15.2.
Построить AЧC периодической последовательности прямоугольных радио-импульсов, если U m = 100 мВ; f H =250 МГц; кГц; t И = 100 мкс.
1. Скважность импульсов:
2. Ширина малых арок и половины большой арки:
3. Максимальная ордината огибающей спектра:
4. Так как f H кратно F, импульсы когерентны, основная спектральная со-ставляющая имеет частоту, равную f H = 250 МГц.
В спектре, показанном на рис. 15.13, присутствуют частоты:
отсутствуют частоты:
Амплитуды соответствующих гармоник могут быть непосредственно отсчи-таны из графика как ординаты огибающей, взятые при соответствующих ча-стотах.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ФОРМОЙ СИГНАЛА И ЕГО СПЕКТРОМ
Форма сигнала в полной мере определяется лишь совокупно-стью двух его спектров: АЧС и ФЧС. Тем не менее можно устано-вить ряд характерных связей между формой сигнала и парамет-рами его АЧС, которые позволяют на практике, имея АЧС, судить о форме сигнала, и наоборот.
Сравнивая спектры прямоугольных и треугольных импульсов, заметим, что ряд Фурье в случае треугольных импульсов сходится быстрее, чем в случае прямоугольных импульсов, так как ампли-туды гармоник убывают быстрее с ростом их номера (табл. 15.1). Закономерность, по которой уменьшаются амплитуды гармоник с ростом их номера, можно выразить через число раз дифферен-цирования исследуемой функции, необходимое для "выделения из нее дельта-функций. Пусть в k-й производной исследуемой функ-ции появляются дельта-функции. Тогда для коэффициентов Фурье имеют силу неравенства:
где М — постоянная, зависящая от формы сигнала.
Скорость убывания амплитуд гармоник в спектре зависит от структурных свойств сигнала: коэффициенты убывают тем быст-рее, чем более «гладкой» является форма сигнала и его производ-ных. Если сигнал имеет скачкообразные переходы (его функция имеет конечные разрывы) и в его первой производной появляются δ(t)-импульсы, то амплитуды гармоник в его спектре стремятся к нулю очень медленно — порядок 1/п; если"же в пределах пе-риода следования сигнал непрерывен, но в его первой производ-ной имеются конечные разрывы, а во второй — δ(t)-импульсы, то амплитуды его гармоник стремятся к нулю быстрее—порядок не ниже 1/n 2 и τ. д. .Чем быстрее убывают коэффициенты Фурье, чем более «гладкая» форма сигнала, тем меньше ширина его спектра. В пределе имеет место наиболее «гладкое» моногармоническое колебание.
Понятие длительности определено лишь для прямоугольных и сходных с ними импульсов. На практике длительность импульса произвольной формы, так же как и ширину спектра сигнала, определяют энергетическим методом, т. е. как интервал времени, внутри которого сосредоточена большая часть его энергии, на-пример 90%. Ширина спектра импульсов получается тем больше, чем меньше длительность импульсов.
Важным свойством АЧС сиг-нала является то, что произведение длительности импульса на ширину спектра есть величина постоянная для импульсов данной формы:
Это свойство присуще спектрам любых сигналов и играет су-щественную роль при выборе их параметров.
Уменьшение длительности радиолокационных импульсов, на-пример, позволяет увеличить точность определения координат цели. Однако увеличение при этом ширины спектра сигнала за-трудняет обеспечение требуемой помехозащищенности радиопри-емных устройств. Такая противоречивость следует из усло-вия (15.35). Поэтому желательно выбирать такую форму импуль-сов, чтобы произведение имело наименьшую величину. Ана-лиз показывает, что это произведение получается меньше для тех импульсов, которые изменяются во времени более плавно, форма которых более «гладкая». Наименьшая его величина, весьма близ-кая к теоретически достижимому минимуму, получается у коло-колообразных импульсов.
Спектральное представление сигналов
Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.
Спектр сигнала - это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.
Различают два вида спектральных диаграмм: - спектральная диаграмма амплитуд; - спектральная диаграмма фаз.
В спектральной диаграмме амплитуд - отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами. В спектральной диаграмме фаз - отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами. Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.
Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий - составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз - начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.
Классификация спектров сигналов. 1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными . Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие. Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом. 2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные . Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.
Спектральное представление периодических сигналов
1. Гармоническое колебание. Математическая модель гармонического колебания имеет вид:
u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)
Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз - начальной фазе колебания?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме. Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).
Рисунок 13 - Спектральное представление гармонических колебаний
Как видно из рисунков, спектр гармонического
колебания является дискретным и
ограниченным.
2. Периодические,
негармонические сигналы.
Основной
особенностью спектрального представления
таких сигналов является наличие в их
спектре множества спектральных
составляющих. Такие сигналы могут быть
описаны рядом Фурье, согласно которому:
т.
е. сигнал может быть представлен суммой
постоянной составляющей и множества
гармонических составляющих.
Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)
Полагая что x=?k и y=k?ct получим:
Поскольку Umk и?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами
Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)
Тогда ряд примет вид:
Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:
где k=1, 2, 3 …
Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):
Из
ряда следует, что если описываемый
сигнал является четной функцией
f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только
косинусоидальные составляющие, так как
bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)),
то рад содержит только синусоидальные
составляющие (ak=0).
Рассмотрим спектральное
представление периодических,
негармонических сигналов на примере
периодической последовательности
прямоугольных импульсов (ПППИ).
При
построении спектра необходимо рассчитать
следующие параметры:
а) скважность
сигнала:
б) значение постоянной составляющей:
в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:
г) амплитуды гармонических составляющих спектра:
При
построении спектра необходимо отметить
следующие особенности:
1. Все гармонические
составляющие находятся на частотах,
кратных частоте первой гармоники (2?1,
3?1, 4?1 и т. д.);
2. Для спектра амплитуд:
а)
спектр ПППИ имеет лепестковый характер,
т. е. в спектре можно выделить множество
«лепестков»;
б) количество гармонических
составляющих в лепестке зависит от
скважности и равно q - 1;
в) амплитуды
гармонических составляющих, находящихся
на частотах, кратных скважности, равны
нулю;
г) форма спектра обозначается
огибающей - пунктирной линией, плавно
соединяющей вершины гармонических
составляющих;
д) точка, из которой
исходит огибающая, равна 2U0 или
2I0.
3. Для спектра фаз:
а) все гармонические
составляющие, на частотах, не кратных
скважности, имеют одинаковую высоту,
равную?/2 (90°);
б) все гармонические
составляющие в одном лепестке имеют
одинаковый знак, а в соседних
противоположный.
в) составляющие на
частотах кратных скважности имеют
начальную фазу равную нулю.
Спектры
ПППИ при скважности q=3 представлены
на рисунке 14.
Как
видно из диаграмм спектр ПППИ является
дискретным и неограниченным. Поэтому
за ширину спектра принимают диапазон
частот, в пределах которого находится
два первых лепестка, т. к. в них содержится
около 95% энергии сигнала:
Fs = 2/?и. (26)
Рисунок 14 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз
Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода. 3. Непериодические сигналы . Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т??, то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.
Рисунок 15 - Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом
Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).
Рисунок 16 - Спектральная диаграмма непериодического сигнала
Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:
Выражение
(27) является обратным преобразованием,
а (28) прямым преобразованием Фурье.
Величина
S(?)
является комплексной спектральной
плотностью непериодического сигнала
u(t). Она равна:
S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)
где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а?(?) - фазовый спектр непериодического сигнала. Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе?? в окрестностях частоты? пересчитанных на 1 Герц. Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:
Рисунок 18 - Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс
) мы познакомились с понятием гармонической (синусоидальной ) функции. А бывают ли негармонические функции и сигналы и как с ними работать? В этом нам и предстоит сегодня разобраться 🙂
Гармонические и негармонические сигналы.
И для начала давайте чуть подробнее разберемся, как же классифицируются сигналы. В первую очередь нас интересуют гармонические сигналы, форма которых повторяется через определенный интервал времени , называемый периодом. Периодические сигналы в свою очередь делятся на два больших класса – гармонические и негармонические. Гармонический сигнал – это сигнал, который можно описать следующей функцией:
Здесь – амплитуда сигнала, – циклическая частота, а – начальная фаза. Вы спросите – а как же синус? Разве синусоидальный сигнал не является гармоническим? Конечно, является, дело в том, что , то есть сигналы отличаются начальной фазой, соответственно, синусоидальный сигнал не противоречит определению, которое мы дали для гармонических колебаний 🙂
Вторым подклассом периодических сигналов являются негармонические колебания . Вот пример негармонического сигнала:
Как видите, несмотря на “нестандартную” форму, сигнал остается периодическим, то есть его форма повторяется через интервал времени, равный периоду.
Для работы с такими сигналами и их исследования существует определенная методика, которая заключается в разложении сигнала в ряд Фурье . Суть методики состоит в том, что негармонический периодический сигнал (при выполнении определенных условий) можно представить в виде суммы гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Важным нюансом является то, что все гармонические колебания, которые участвуют в суммировании, должны иметь частоты, кратные частоте исходного негармонического сигнала. Возможно это пока не совсем понятно, так что давайте рассмотрим практический пример и разберемся чуть подробнее 🙂 Для примера используем сигнал, который изображен на рисунке чуть выше. Его можно представить следующим образом:
Давайте изобразим все эти сигналы на одном графике:
Функции , называют гармониками сигнала, а ту из них, период которой равен периоду негармонического сигнала, называют первой или основной гармоникой . В данном случае первой гармоникой является функция (ее частота равна частоте исследуемого негармонического сигнала, соответственно, равны и их периоды). А функция представляет из себя ни что иное как вторую гармонику сигнала (ее частота в два раза больше). В общем случае, негармонический сигнал раскладывается на бесконечное число гармоник:
В этой формуле – амплитуда, а – начальная фаза k-ой гармоники. Как мы уже упомянули чуть ранее, частоты всех гармоник кратны частоте первой гармоники, собственно, это мы и видим в этой формуле 🙂 – это нулевая гармоника, ее частота равна 0, она равна среднему значению функции за период. Почему среднему? Смотрите – среднее значения функции синуса за период равно 0, а значит при усреднении в этой формуле все слагаемые, кроме будут равны 0.
Совокупность всех гармонических составляющих негармонического сигнала называют спектром этого сигнала. Различают фазовый и амплитудный спектр сигнала:
- фазовый спектр сигнала – совокупность начальных фаз всех гармоник
- амплитудный спектр сигнала – амплитуды всех гармоник, из которых складывается негармонический сигнал
Давайте рассмотрим амплитудный спектр поподробнее. Для визуального изображения спектра используют диаграммы, представляющие из себя набор вертикальных линий определенной длины (длина зависит от амплитуды сигналов). На горизонтальной оси диаграммы откладываются частоты гармоник:
По горизонтальной оси могут откладываться как частоты в Гц, так и просто номера гармоник, как в данном случае. А по вертикальной оси – амплитуды гармоник, тут все понятно:). Давайте построим амплитудный спектр сигнала для негармонического колебания, которое мы рассматривали в качестве примера в самом начале статьи. Напоминаю, что его разложение в ряд Фурье выглядит следующим образом:
У нас есть две гармоники, амплитуды которых равны, соответственно, 2 и 1.5. Поэтому на диаграмме две линии, длины которых соответствуют амплитудам гармонических колебаний.
Фазовый спектр сигнала строится аналогично, за той лишь разницей, что используются начальные фазы гармоник, а не амплитуды.
Итак, с построением и анализом амплитудного спектра сигнала мы разобрались, давайте перейдем к следующей теме сегодняшней статьи – к понятию амплитудно-частотной характеристики.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).
АЧХ является важнейшей характеристикой многих цепей и устройств – фильтров, усилителей звука и т. д. Даже простые наушники имеют свою собственную амплитудно-частотную характеристику. Что же она показывает?
АЧХ – это зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного сигнала.
Как мы выяснили в первой части статьи, негармонический периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье. Но нас сейчас интересует, в первую очередь, аудио-сигнал, и выглядит он следующим образом:
Как видите, ни о какой периодичности здесь не идет речи 🙂 Но, к счастью, существуют специальные алгоритмы, которые позволяют представить звуковой сигнал в виде спектра входящих в него частот. Мы сейчас не будем подробно разбирать эти алгоритмы, это тема для отдельной статьи, просто примем тот факт, что они позволяют нам осуществить такое преобразование с аудио-сигналом 🙂
Соответственно, мы можем построить диаграмму амплитудного спектра звукового сигнала. А пройдя через какую-либо цепь (к примеру, через наушники при воспроизведении звука) сигнал будет изменен. Так вот амплитудно-частотная характеристика как раз и показывает, какие изменения будет претерпевать входной сигнал при прохождении через ту или иную цепь. Давайте обсудим этот момент чуть поподробнее…
Итак, на входе мы имеем ряд гармоник. Амплитудная-частотная характеристика показывает, как изменится амплитуда той или иной гармоники при прохождении через цепь. Рассмотрим пример АЧХ:
Разберемся поэтапно, что же тут изображено… Начнем с осей графика АЧХ. По оси y мы откладываем величину выходного напряжения (или коэффициента усиления, как на данном рисунке). Коэффициент усиления мы откладываем в дБ, соответственно величина, равная 0 дБ, соответствует усилению в 1 раз, то есть амплитуда сигнала остается неизменной. По оси x откладываются частоты входного сигнала. Таким образом, в рассматриваемом случае для всех гармоник, частоты которых лежат в интервале от 100 до 10000 Гц, амплитуда не изменится. А сигналы всех остальных гармоник будут ослаблены.
На графике отдельно отмечены частоты и – их отличительной особенностью является то, что сигнал гармоник данных частот будет ослаблен в 1.41 раза (3 дБ) по напряжению, что соответствует уменьшению в 2 раза по мощности. Полосу частот между и называют полосой пропускания. Получается следующая ситуация – сигналы всех гармоник, частоты которых лежат в пределах полосы пропускания устройства/цепи будут ослаблены менее, чем в 2 раза по мощности.
Частотный диапазон аудиоустройств обычно разбивают на низкие, средние и высокие частоты. Приблизительно это выглядит так:
- 20 Гц – 160 Гц – область низких частот
- 160 Гц – 1.28 КГц – область средних частот
- 1.28 КГц – 20.5 КГц – область высоких частот
Именно такую терминологию обычно можно встретить в разных программах-эквалайзерах, используемых для настройки звука. Теперь вы знаете, что красивые графики из таких программ являются именно амплитудно-частотными характеристиками, с которыми мы познакомились в сегодняшней статье 🙂
В завершении статьи посмотрим на пару АЧХ, полученных в программном эквалайзере:
Здесь мы можем видеть амплитудно-частотную характеристику усилителя. Причем усилены будут преимущественно средние частоты диапазона.
А здесь ситуация совсем другая – низкие и верхние частоты усиливаются, а в области средних частот для гармоник с частотой 500 Гц мы наблюдаем значительное ослабление.
А здесь усиливаются только низкие частоты. Аудиоаппаратура с такой АЧХ будет обладать высоким уровнем басов 🙂
На этом мы заканчиваем нашу сегодняшнюю статью, спасибо за внимание и ждем вас на нашем сайте снова!
Понятие "сигнал" можно трактовать по-разному. Это код или знак, переданный в пространство, носитель информации, физический процесс. Характер оповещений и их связь с шумом влияют на его дизайн. Спектры сигналов можно классифицировать несколькими способами, но одним из наиболее фундаментальных является их изменение во времени (постоянные и переменные). Вторая основная классификационная категория - частоты. Если рассмотреть во временной области более подробно, среди них можно выделить: статические, квазистатические, периодические, повторяющиеся, переходные, случайные и хаотические. Каждый из этих сигналов обладает определенными свойствами, которые могут влиять на соответствующие проектные решения.
Типы сигналов
Статический по определению является неизменным в течение очень длительного периода времени. Квазистатический определяется уровнем постоянного тока, поэтому его необходимо обрабатывать в схемах усилителя с низким дрейфом. Этот тип сигнала не возникает на радиочастотах, потому что некоторые подобные схемы могут создавать уровень неменяющегося напряжения. Например, непрерывное волновое оповещение с постоянной амплитудой.
Термин «квазистатический» означает «почти неизменный», поэтому относится к сигналу, который необычайно медленно изменяется в течение длительного времени. Он обладает характеристиками, более похожими на статические оповещения (постоянные), чем динамические.
Периодические сигналы
Это те, которые точно повторяются на регулярной основе. Примеры периодических сигналов включают синусоидальные, квадратные, пилообразные, треугольные волны и т. д. Характер периодической формы указывает на то, что она идентична в одинаковых точках вдоль временной линии. Другими словами, если идет продвижение по временной линии ровно на один период (T), то напряжение, полярность и направление изменения формы волны будут повторяться. Для формы напряжения это можно выразить формулой: V (t) = V (t + T).
Повторяющиеся сигналы
Являются квазипериодическими по природе, поэтому имеют некоторое сходство с периодической формой волны. Основное различие между ними обнаруживается путем сравнения сигнала при f (t) и f (t + T), где T - это период оповещения. В отличие от периодического оповещения, в повторяющихся звуках эти точки могут быть не идентичными, хотя они будут очень похожи, так же, как и общая форма волны. Рассматриваемое оповещение может содержать либо временные, либо стабильные признаки, которые варьируются.
Переходные сигналы и импульсные сигналы
Оба вида являются либо одноразовым событием, либо периодическим, в котором продолжительность очень коротка по сравнению с периодом формы волны. Это означает, что t1 <<< t2. Если бы эти сигналы были переходными процессами, то в радиочастотных схемах намеренно генерировались бы в виде импульсов или переходного режима шума. Таким образом, из вышеизложенной информации можно сделать вывод, что фазовый спектр сигнала обеспечивает колебания во времени, которые могут быть постоянными или периодическими.
Ряды Фурье
Все непрерывные периодические сигналы могут быть представлены основной синусоидальной волной частоты и набором косинусных гармоник, которые суммируются линейно. Эти колебания содержат формы зыби. Элементарная синусоидальная волна описывается формулой: v = Vm sin(_t), где:
- v - мгновенная амплитуда.
- Vm - пиковая амплитуда.
- "_" - угловая частота.
- t - время в секундах.
Период - это время между повторением идентичных событий или T = 2 _ / _ = 1 / F, где F - частота в циклах.
Ряд Фурье, который составляет форму волны, можно найти, если заданная величина разлагается на ее составляющие частоты либо банком частотно-избирательных фильтров, либо алгоритмом цифровой обработки сигналов, называемым быстрым преобразованием. Также может быть использован способ построения с нуля. Ряд Фурье для любой формы волны может быть выражен формулой: f(t) = a o/2+ _ n -1 }